Monty Xoll muammosi: Qaror shunchaki izohlanadi



Mundarija(ushbu bo'limga o'tish uchun bosing):

Monty Hall muammosi nima?

Umumiy ko'rish uchun videoni tomosha qiling:

Monty Hall muammosi - Kelinglar, bir muomala qilaylik teleshousining asl xosti Monti Xoll nomidagi ehtimollik jumboqidir. Bu juda mantiqsiz echimga ega bo'lgan taniqli paradoks, aksariyat odamlar bu haqiqatga ishonishdan bosh tortishadi.

Siz o'yin shousidasiz va sizga uchta eshik tanlovi berildi deylik: bitta eshik ortida mashina bor; boshqalarning orqasida echkilar. Siz eshikni tanlaysiz, 1-raqamni ayting va eshik ortida nima borligini biladigan uy egasi yana bir eshikni ochadi, masalan echki bor 3-raqam. Keyin u sizga: "Siz 2-sonli eshikni tanlamoqchimisiz?" O'zingizning tanlovingizni almashtirish sizning foydangiz uchunmi?

(Parade jurnalining Merilindan so'rang ruknidan)

Siz almashtirishingiz kerakmi?

Ishoning yoki ishonmang, aslida almashtirish sizga foydalidir:

  • Agar siz almashsangiz, sizda mashinani yutish ehtimoli taxminan 2/3.
  • Agar siz o'zingizning asl tanlovingizga sodiq qolsangiz, siz mashinani yutib olishning taxminan 1/3 imkoniyatiga egasiz.

Javob tovushlar dargumon. 3-eshik ochilgandan so'ng, siz ikkita eshikka ega deb o'ylaysiz ... ikkalasi ham bir xil koeffitsient bilan. Biroq, agar siz almashsangiz, g'alaba qozonish ehtimoli ko'proq.

  • Eshiklarni almashtirganlar vaqtning 2/3 qismida g'alaba qozonishdi
  • O'zgartirmaganlar taxminan 1/3 g'alaba qozonishdi

Bu haqiqat matematik simulyatsiyalarning ko'pligi bilan qayta-qayta isbotlangan. Agar siz dovdirab qolsangiz va hali ham bunga ishonmasangiz - xavotir olmang, hatto matematiklar ham bunga boshlarini chizishadi. Dahshiy matematiklardan biri Pol Erdos g'alaba, "o'tish", strategiyasining simulyatsiyalari namoyish etilmaguncha, javob to'g'ri ekanligiga ishonmadi.

Yuqoriga qaytish

Monty Hall muammosiga qarashning intuitiv usuli

A ko'p odamlar kommutatsiya eshiklar yaxshiroq bahislerle tashvish bor. Oddiy bir haqiqatni anglamagunimcha, o'zim ham shu narsaga qo'shildim: agar o'tish imkoniyati yaxshiroq bo'lsa, chunki Monti qolgan tanlovni o'zi boshqaradi.Aytaylik, siz o'yinni Monti mashinaning joyini bilmaydigan joyda o'ynadingiz. Agar siz almashsangiz ham, farq qilmasangiz ham bo'ladi (nima bo'lishidan qat'iy nazar sizning koeffitsientingiz 50% ni tashkil qiladi). Ammo bu sodir bo'lmaydi. Monty Hall muammosida juda aniq bir band bor: Monty mashinaning qaerdaligini biladi. U hech qachon mashina bilan eshikni tanlamaydi. Qolgan eshiklarni siz uchun boshqarib, u almashtirish har doim yaxshi pul tikish ehtimoli borligini aytadi.

Monti Xoll muammosiga ba'zi odamlar boshlarini o'rab ololmasliklarining yana bir sabablaridan biri bu kichik sonlardir. Keling, aynan shu muammoni 3 o'rniga 100 ta eshik bilan ko'rib chiqamiz. Siz tasodifiy eshikni tanlaysiz.

Monty bitta eshik o'rniga 98 eshikni yo'q qiladi. Bu eshiklar u biladiki, sovrin yo'q!Bu ikkita eshikni qoldiradi. Siz tanlaganingiz va Montidan keyin qolgani boshqalarni yo'q qildi.

Endi eshiklarni almashtirasizmi?Sen ... kerak. Siz birinchi marta tanlaganingizda, siz faqat to'g'ri eshikni olish uchun 1/100 imkoniyatga ega bo'ldingiz. Bundan tashqari, bu juda taxmin qilingan. Endi sizga Monty Xollning o'zi saylagan filtrlangan tanlov taqdim etiladi. Agar siz almashsangiz, ehtimol sizning koeffitsientingiz ancha yaxshi ekanligi aniq bo'lishi kerak.

Hali ham bunga ishonmayapsizmi?Ushbu simulyatsiyani sinab ko'ring. Agar siz almashsangiz, vaqtning 2/3 qismida g'alaba qozonishingizni ko'rasiz.

Yuqoriga qaytish

Kommutatsiya nima uchun ishlaydi?

Ehtimol, o'zingizni ushbu echim to'g'ri ekanligiga ishontirishning eng yaxshi usuli bu simulyatsiyani o'zingiz sinab ko'rishdir.

Endi, agar siz nima uchun ishlashini boshingizni o'rab qo'ymoqchi bo'lsangiz, bunga bir nechta turli xil usullar mavjud. 3 eshik bor va sizning asl tanlovingiz sizga 1/3 koeffitsientni beradi. Ikkita eshik qoldi, ular birgalikda mashinani yutish imkoniyatining 2/3 qismiga ega. Montining ushbu eshiklardan birini ochishi ehtimollarni o'zgartirmasligihaqiqatan ham dolzarbdir .Ushbu koeffitsient hali ham 2/3 bo'ladi.

Hali ham ishonmayapsizmi? Tasavvur qiling, 3 eshik o'rniga 300 eshik bor. Siz 1-eshikni taxmin qilasiz, bu sizga 1/300 g'alaba qozonish imkoniyatini beradi. Monty qolgan eshiklardan 298 ta eshikni ochadi, bu sizga 1-eshik yoki 201-eshik o'rtasida tanlov qilish imkoniyatini beradi. Sizning asl koeffitsientingiz (1/300) tasodifiy tanlangan eshik (eshik 1) uchun bir xil bo'lib qolsa-da, Monty sizga berib, sizga koeffitsientni oshirdi. siz tasodifiy tanlangan 298 eshik orasidan eng yaxshi eshik. tasodifiy eshiklar to'plamidan eng yaxshi eshik har doim ham yaxshi koeffitsientga ega bo'ladi.

Parad jurnalining echimi

Parade jurnalida keltirilgan ushbu echim qolish yoki almashtirishning mumkin bo'lgan barcha natijalarini ko'rsatadi.

QOLISH:

Siz eshikni tanlaysiz. Monti "echki eshigini" ochadi. Siz qolasiz. 1-stsenariy uchun siz g'alaba qozonasiz. Va qolgan ikkita senariy uchun siz yutqazasiz. Sizga barcha stsenariylar uchun yutishning 1/3 imkoniyatini berish.

O'chirish

Siz eshikni tanlaysiz1. Monti "echki eshigini" ochadi. Siz almashasiz. 1-stsenariy uchun siz yutqazasiz. Va bu safar, qolgan ikkita stsenariy uchun siz g'alaba qozonasiz. Bu sizga g'alaba qozonishning 2/3 imkoniyatini beradi.

Yuqoriga qaytish

Monty Hall muammosining 1975 yildagi versiyasi

Garchi bu muammo 1990 yilda Ask Merilyn ruknida mashhur bo'lgan bo'lsa-da, muammo haqida eng avval eslatib o'tilgan Stiv Selvin Amerika Statistikasiga yozgan xatida. "Ehtimollikdagi muammo" deb nomlangan muharrirga maktubida Selvin Monti Xoll muammosini keltirib chiqardi. Uchta eshik o'rniga A, B va C yorliqli uchta quti bor edi. Bittasida yangi Lincoln Continental-ning kalitlari bor edi. Qolgan ikkita quti bo'sh edi. Ishtirokchi qutini tanlaydi, Monti bo'sh qutini ochadi va u ishtirokchidan almashtirishni xohlayaptimi, deb so'raydi. Savol deyarli bir xil, faqat avtomobil, eshik va echkilar o'rniga sizda mashinangiz, qutilaringiz va hech narsangiz yo'q. Savol bergandan so'ng (tanlov ishtirokchisi o'zgarishi kerakmi?), Selvin quyidagi echimni taklif qiladi:

1975 yildagi Monty Xoll muammosini Amerika Statististidan hal qilish.

Agar siz "Natija" ustunidagi yutuqlar / yo'qotishlar sonini hisoblasangiz, siz 6/9 ni olasiz, bu g'alaba qozonish ehtimoli 2/3.

Yuqoriga qaytish

Media Furor

Kelsak nima uchun bu ehtimoli muammo, shuning uchun mashhur bo'ldi edi so'ra Merilin ustun, Marilyn ning javob ergashib media muvaffaqiyat qozondi bilan, albatta, juda ko'p narsa bor:

“Ha; siz almashtirishingiz kerak. Birinchi eshik g'alaba qozonishning 1/3 imkoniyatiga ega, ammo ikkinchi eshikda 2/3 imkoniyat mavjud. Mana nima bo'lganini tasavvur qilishning yaxshi usuli. Million eshik bor deylik, siz №1 eshikni tanlaysiz. Keyin eshik ortida nima borligini biladigan va har doim sovrinli kishidan qochishini biladigan uy egasi # 777,777 eshikdan tashqari hammasini ochadi. Siz bu eshikka juda tez o'tasiz, shunday emasmi?

Qaror bilan kelishmovchiliklar

Ustun nashr etilgandan so'ng Merilin olgan minglab xatlarning aksariyati u bilan rozi emas edi.

Bir nechta sharhlar

Mana bir nechta sharhlar (Merilinning "O'yin namoyishi muammosi" sahifasidan):

Robert Saks, tibbiyot fanlari nomzodijavob berdi “Professional matematik sifatida men keng jamoatchilikning matematik ko'nikmalarini etishmasligidan juda xavotirdaman. Iltimos, xatolaringizni tan olib, kelajakda yanada ehtiyotkorlik bilan yordam bering. ”

Skott Smit, fan doktori.“Siz uni pufladingiz, va siz katta pufladingiz! Siz bu erda ishlayotganda asosiy printsipni tushunishda qiynalayotganingiz kabi, men tushuntirib beraman ... ”

Barri Pasterak, fan doktori.Savolga javobingiz xato. Ammo bu qandaydir tasalli bo'lsa, mening ko'plab akademik hamkasblarim ham bu muammoga duch kelishdi.

Merilin o'z javobini qayta tushuntirib javobini joylashtirdi, bu esa xatosini tuzatishni iltimos qilgan yana ko'p xatlarga sabab bo'ldi. Ular tarkibiga Mudofaa bo'yicha ma'lumot markazi direktori o'rinbosari va Milliy sog'liqni saqlash institutining matematik-statistik tadqiqotchisi maktublari kiradi. Merilin nazariyani tasdiqlash uchun eksperimentlar o'tkazish uchun mamlakat bo'ylab matematika xonalariga murojaat qildi va okrug bo'ylab sinflar ehtimollik tajribasini o'tkazdilar. 1990 yilda maktabda o'qigan har bir kishi, ehtimol, bu g'azabni eslaydi.

Uyda o'z tajribangizni sinab ko'ring…

Hali ham Monty Hall muammosiga duch kelmaysizmi? Uyda o'z tajribangizni sinab ko'ring. O'yinchoq mashinani uchta qutining biriga qo'ying va o'zingizning natijalaringizni qayd etib, yuz marta o'yin o'ynang. Ammo ushbu doktorlik dissertatsiyalarining barchasi noto'g'ri ekanligi sababli, siz hali ham qoqilib ketgan bo'lsangiz, o'zingizni yomon his qilmang.

Boshqa tomondan, kaptarlar matematiklarga qaraganda aqlli bo'lishi mumkinligi bilan tasalli topishingiz mumkin: ular Monty Hall dilemmasiga kelganda yaxshiroq ishlashadi. Journal of Comparative Psychology jurnalida chop etilgan tadqiqot sovg'a sifatida aralash don tarqatish uchun o'yinning bir versiyasidan foydalangan. Qushlar odamlarning o'xshashlaridan ko'ra juda yaxshi ishladilar, aslida yaxshiroq. Tajriba odamlar bilan takrorlandi (umid qilamanki, sovrin uchun dondan boshqa narsa bilan ...). Hatto "keng ko'lamli mashg'ulotlardan" keyin ham odamlar qushlar singari yaxshi ish qilishmadi. Fikrlash uchun oziq-ovqat!

Ko'proq o'qilmoqda…

Monty Hall muammosi minglab veb-saytlar, gazetalar va boshqa ommaviy axborot vositalarini muammoga o'z javoblarini topishga harakat qilishga undadi. Google "Monty Hall Problem" va siz bir necha yuz ming sahifani olasiz. Ko'pchilik muammoni bayon qiladi va yuqorida o'qiganlaringizga o'xshash echimlarni taklif qiladi. Agar qaerga qarashni bilsangiz, u erda juda noyob echimlar mavjud:

Emori yuridik fakulteti professori Sasha Volox, The Washington Post gazetasida yozishicha, muammoni shartli ehtimollik nuqtai nazaridan hal qiladi. Agar sizga etarlicha ilg'or ehtimollik ma'qul kelsa, bu qiziqarli o'qishga imkon beradi. "Haqiqiy tushuntirish shuni anglatadiki, Monti agar mashina 3-eshik orqasida bo'lsa, u 2-eshikni ko'rsatishi kerak, lekin agar u 1-eshik orqasida bo'lsa, u 2-eshikni ko'rsatishi mumkin, shuning uchun uning 2-eshikni ko'rsatishi uning foydasiga sizga o'rtacha darajada ma'lumot beradi. eshik-3 senariysi. ”

Matematika professori Jeyson Rozenxaus ushbu mavzuda "Monty Xoll muammosi: Matematikaning eng bahsli brainteaser- ning ajoyib hikoyasi" deb nomlangan butun kitobiniyozdi (Oksford universiteti nashri, 2009). Ushbu kitobda u mantiqiy dalillardan matematik qat'iylikka qadar masalaga turli nuqtai nazardan yondashadi. U (ehtimol) biz hurmat qiladigan sahifamizdan ham puxta. Siz uni Amazon-da topishingiz mumkin.

Monti Xol muammosini hal qilish uchun Bayes teoremasidan foydalanish

Yuqoridagi "echimlar" muammoning mantiqiy echimidir. Bayes teoremasi yordamida yanada qat'iy echimni topish mumkin. Ushbu qiziqarli echim uchun kredit Kristofer Longga beriladi. Men sizni Bayes teoremasi bilan tanish deb o'ylayman, bu shartli ehtimollikni aniqlashning bir usuli (agar A hodisasi sodir bo'lsa, B hodisasi qanday bo'ladi?).

Qaror uchun asos yuqoridagi stsenariy bilan bir xil. Uchta eshik bor, biri orqasida mashina bor. Siz eshikni tanlaysiz, keyin Monti echkini ochish uchun boshqa eshiklardan birini ochadi.

Faraz qilaylik, siz 1-eshikni tanladingiz, keyin Monti sizga 2-eshik orqasidagi echkini ko'rsatmoqda. Bayes teoremasidan foydalanish uchun avval A va B-ga voqea tayinlashimiz kerak.

  • A hodisasi shunday bo'lsinki, mashina 1-raqamli eshik orqasida.
  • B hodisasi bo'lsin, Monti echkini ko'rsatish uchun 2-eshikni ochdi.

Mana Bayesning echimi

Pr (A) ni aniqlash juda oddiy. Mashinaning 1-eshigi ortida bo'lishining 1/3 ehtimoli bor. Ikkita eshik qoldi va ularning har biri tanlanishning 1/2 imkoniyatiga ega - bu bizga Pr (B | A) yoki B hodisaning ehtimolligini beradi, berilgan A.

Pr (B), maxrajda, tushunish uchun biroz ayyorroq. Buni o'ylab ko'ring:

  1. Siz 1-eshikni tanlaysiz. Monti sizga 2-eshik orqasida echki ko'rsatmoqda.
  2. Agar mashina 1-eshik orqasida bo'lsa, Monty uni tanlamaydi. U 2-eshikni ochadi va 1/2 echkini ko'rsatadi.
  3. Agar mashina 2-eshik orqasida bo'lsa, Monti har doim3-eshikni ochadi, chunki u hech qachon mashinani ochmaydi.
  4. Agar mashina 3-eshik orqasida bo'lsa, Monty 100-marta 2-eshikni ochadi.

Monti 2-eshikni ochganligi sababli, siz mashina 1-eshik orqasida (siz tanlagan) yoki 3-eshik ekanligini bilasiz. Mashinaning 1-eshik ortida bo'lish ehtimoli 1/3 ga teng. Bu shuni anglatadiki, mashinaning 3-eshik ortida bo'lish ehtimoli 1 - (1/3) = 2/3 ga teng. Va shuning uchun siz almashasiz.

Adabiyotlar

Agresti A. (1990) Ma'lumotlarni kategorik tahlil qilish. John Wiley and Sons, Nyu-York.

Gonik, L. (1993). Statistikaga oid multfilmlar qo'llanmasi. HarperPerennial.

Kotz, S .; va boshq., tahr. (2006), Statistika fanlari ensiklopediyasi, Vili.

Wheelan, C. (2014). Yalang'och statistika. WW Norton & Company

Uy vazifasi yoki test savolida yordam kerakmi?Bilan Facebook sahifasida.