GRE matematikasi: Permutatsiya / kombinatsiya

Savdo palatasi yigirma nomzoddan iborat jami etti nafar a'zodan iborat. Kengashni saylov jarayonida ikki bosqich mavjud. Birinchidan, prezident, kotib va ​​xazinachi tanlanadi. Shundan so'ng, to'rtta a'zo hech qanday aniq nom yoki tumanga ega bo'lmagan holda "ozodlikda" tanlanadi. Qancha mumkin bo'lgan taxtalarni tanlash mumkin?

Ikkita ishni ko'rib chiqishimiz kerak. Birinchidan, prezident, kotib va ​​xazinachini o'z ichiga olgan guruh almashtirish holatini anglatadi. Bunday guruhda tartib muhim bo'lganligi sababli, biz dastlabki 20 ta nomzodimiz orasidan 20 * 19 * 18 yoki 6840 ta mumkin bo'lgan guruhlarni tanlashimiz mumkin.

Buning ortidan, katta guruh kombinatsiya ishini tashkil qiladi, unda tartib muhim emas. Dastlabki uchta uyaga 3 ni tanlaganimiz sababli, qolgan 17 kishi bo'ladi. 17 nomzoddan 4 kishini tanlash formulasi ushbu shaklning kombinatsion formulasi bilan ifodalanadi:

17! / ((17-4)! * 4!) = 17! / (13! * 4!) = (17 * 16 * 15 * 14) / (4 * 3 * 2) = 17 * 4 * 5 * 7 = 2380

Shunday qilib, bizda 6840 va 2380 guruhlash mumkin. Ularning har biri bir-biri bilan birlashtirilishi mumkin, ya'ni bizda 6840 * 2380 yoki 16,279,200 potentsial taxtalar mavjud.

Misol savol # 2: Permutatsiya / kombinatsiya

52 ta kartadan iborat pastki qismdan 5 ta kartadan qancha buyurtma qilingan namunalarni almashtirishsiz olish mumkin?

Shuni esda tutishimiz kerakki, buyurtma muhim va biz o'rnini bosmasdan namuna olamiz. Bu keyinchalik oddiy almashtirish muammosiga aylanadi. Bizda bir vaqtning o'zida 5tadan tanlanadigan 52 ta karta bor, shuning uchun javob 52 * 51 * 50 * 49 * 48.

Misol savol # 1: Permutatsiya / kombinatsiya

3 ta karta standart 52 ta kartadan tanlangan.

A miqdori: almashtirish bilan 3 ta kartani tanlash usullarining soni

B miqdori: 3 ta kartani almashtirishsiz tanlash usullarining soni

A miqdori kattaroq.

Berilgan ma'lumotlardan munosabatni aniqlash mumkin emas.

Ikki miqdor teng.

B miqdori kattaroq.

A miqdori kattaroq.

A miqdori almashtirish bilan aytadi , shuning uchun bizda birinchi kartani tanlashning 52 usuli bor, keyin biz uni almashtiramiz, shuning uchun yana 2-kartani tanlashning 52 usuli bor va shunga o'xshash bizda ham 3-kartani tanlashning 52 usuli mavjud. Shuning uchun bizda 3 ta kartani almashtirish bilan tanlashning 52 * 52 * 52 usuli mavjud.

Soni B deydi holda biz birinchi karta tanlash uchun 52 yo'llarini bor, lekin, biz ikkinchi kartasini tanlash uchun 51 yo'llarini bor, shuning uchun, keyin, biz kemaning bu karta orqa qo'yish emas, shuning uchun, almashtirish. Shunga qaramay biz uchinchi kartani tanlashning 50 ta usulini qoldirib, ushbu kartani qaytarib bermaymiz. Shunday qilib, 3 ta kartani almashtirishsiz tanlashning 52 * 51 * 50 usuli mavjud.

A miqdori kattaroq. Umuman olganda, har doim bir narsa tanlash uchun ko'proq yo'llari bor bo'lishi kerak bilan qaraganda almashtirish holda biz yuqorida ko'rsatib kabi almashtirish. Agar siz buni allaqachon bilgan bo'lsangiz, A miqdorini matematikasiz tanlashingiz mumkin edi. E'tibor bering, bu erda qanday javob topsangiz ham, hisob-kitoblarni oxirigacha tugatish uchun hech qanday sabab yo'q. Bu sizning ko'p miqdordagi taqqoslash muammolarida vaqtingizni tejaydi. Misol uchun, biz 52 * 52 * 52 ning 52 * 51 * 50 dan kattaroq ekanligini, ikkita ibora nimaga tengligini aniqlamasdan bilamiz.

Misol savol # 2: Permutatsiya / kombinatsiya

Faqatgina 4 tupga joy bo'lgan 6 xil rangdagi atirgul butalarini bir qatorga necha usul bilan ekish mumkin?

Birinchi atirgul tupini tanlashning 6 usuli, ikkinchisini tanlashning 5 usuli, uchinchisini tanlashning 4 usuli va to'rtinchisini tanlashning 3 usuli mavjud. Hammasi bo'lib atirgul butalarini tartibga solishning 6 * 5 * 4 * 3 = 360 usuli mavjud.

Misol savol # 311: Arifmetik

Besh xil rangdagi to'pni ketma-ket necha usulda joylashtirish mumkin?

Biz 5 ta to'pni 5 ta holatga joylashtirishimiz kerak: _ _ _ _ _. Birinchi pozitsiyani har qanday 5 ta to'p egallashi mumkin. Keyin ikkinchi pozitsiyani to'ldirish uchun 4 ta to'p qoladi va hokazo. Shuning uchun kelishuvlar soni 5 ta! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.

Misol savol # 1: Permutatsiya / kombinatsiya

Daisy o'z bog'ining tashqarisida ketma-ket to'rtta vazo tashkil qilmoqchi. Uning tanlovi uchun sakkizta vaza bor. U qancha vaza aranjirovka qila oladi?

Ushbu muammo uchun, vazolarning tartibi muhim (qizil ko'k sariq ko'k qizil qizildan farq qiladi), biz almashtirishlar bilan shug'ullanamiz.

Potentsial variantlardan tanlovlar bilan, mumkin bo'lgan almashtirishlarning umumiy soni (buyurtma masalalari):

Misol savol # 312: Arifmetik

Uchrashuvda o'n besh kishi o'rtasida bo'lishi mumkin bo'lgan eng kam qo'l siqish miqdori qancha, agar har bir kishi bir-birining qo'lini faqat bir marta silkitsa?

Bu "15 ni tanlang 2" shaklidagi kombinatsiyalangan muammo, chunki qo'l siqish to'plamlari tartibda ahamiyatga ega emas. (Ya'ni, "A B qo'lini silkitadi" "B A qo'lini silkitadi" bilan bir xil.) Standart formuladan foydalanib biz quyidagilarni olamiz: 15! / ((15 - 2)! * 2!) = 15! / (13! * 2!) = (15 * 14) / 2 = 15 * 7 = 105.

Misol savol # 3: Permutatsiya / kombinatsiya

Uchta saylangan a'zodan iborat shahar kengashiga 20 kishi loyiqdir.

Miqdor A

Kengash a'zolarining mumkin bo'lgan birlashmalarining soni, idora egalari o'rtasida farqlanishni nazarda tutmaydi.

Kengashda prezident, vitse-prezident va xazinachi mavjudligini hisobga olgan holda, kengash a'zolarining mumkin bo'lgan birikmalarining soni.

B miqdori kattaroq.

Berilgan ma'lumotlardan munosabatni aniqlash mumkin emas.

A miqdori kattaroq.

Miqdorlar teng.

B miqdori kattaroq.

Bu almashtirish va kombinatsiyalar masalasidir. Siz buni tegishli formulalar yordamida hal qilishingiz mumkin, ammo har doim ham bitta kattalikdagi barcha guruhlar uchun kombinatsiyalarga qaraganda ko'proq almashtirishlarni amalga oshirishingiz mumkin, chunki tanlov tartibi muhim; shu sababli, matematikani qilmasdan, B javob bo'lishi kerakligini bilasiz.

Misol uchun savol №1: Eng katta yoki eng kam sonli kombinatsiyani qanday topish mumkin

Jouda hali o'qimagan 10 ta to'plam mavjud. Agar u ulardan 3 tasini ta'tilga olib ketsa, u mumkin bo'lgan qancha to'plamni olishi mumkin?

U 10 ta, so'ngra 9 ta, so'ngra 8 ta kitobdan birini tanlashi mumkin, ammo tartib muhim emasligi uchun biz 3 faktorialga bo'linishimiz kerak

(10 * 9 * 8) ÷ (3 * 2 * 1) = 720/6 = 120

Misol savol # 4: Permutatsiya / kombinatsiya

Agar ushbu parol to'liq 6 ta belgidan iborat bo'lishi kerak bo'lsa, ulardan ikkitasi alohida raqamlardan iborat bo'lishi kerak, ikkinchisi katta harf bilan, qolgan 3 tasi esa har qanday raqam yoki harf (katta yoki kichik) bo'lishi mumkin. parolda biron bir belgi takrorlanmasligi uchun?

Uchta "qattiq va tezkor shartlar" - raqamlar va bitta katta harfni ko'rib chiqing. Birinchi raqam uchun siz 10 ta, ikkinchisi uchun 9 ta tanlovga egasiz (chunki takrorlay olmaysiz). Asir xat uchun sizda 26 tanlov mavjud. Hozircha parolingizda 10 * 9 * 26 mumkin bo'lgan kombinatsiyalar mavjud.

Qolgan variantlarni hisobga olgan holda, sizda 8 ta raqam, 25 ta katta harf va 26 ta kichik harf (ya'ni 59 ta tanlov) mavjud. Siz takrorlay olmaganingiz uchun, qolgan 59, 58 va 57-variantlar uchun imkoniyatlar mavjud.

Bularning barchasini birlashtirib, sizda: 10 * 9 * 26 * 59 * 58 * 57 yoki 456426360 tanlovi mavjud.

Barcha GRE matematik manbalari

Ushbu savol bilan muammo haqida xabar bering

Agar siz ushbu savol bilan bog'liq muammo topsangiz, iltimos, bizga xabar bering. Jamiyat yordamida biz o'z ta'lim resurslarimizni takomillashtirishda davom etamiz.

DMCA shikoyati

Agar siz Veb-sayt orqali mavjud bo'lgan tarkib (bizning Xizmat ko'rsatish shartlarida belgilanganidek) sizning mualliflik huquqlaringizni bir yoki bir nechtasini buzadi deb hisoblasangiz, iltimos, quyida ko'rsatilgan ma'lumotlarni o'z ichiga olgan yozma bildirishnoma ("Huquqbuzarlik to'g'risida ogohlantirish") orqali bizga xabar bering. agent quyida keltirilgan. Agar Varsity Repetitorlari huquqni buzish to'g'risidagi bildirishnomaga javoban choralar ko'rsalar, u bunday tarkibni Varsity Tutors-ga taqdim etgan, agar mavjud bo'lsa, eng so'nggi elektron pochta manzili orqali ushbu tarkibni taqdim etgan tomon bilan bog'lanish uchun vijdonan harakat qiladi.

Sizning huquqbuzarlik to'g'risidagi xabarnomangiz tarkibni taqdim etgan tomonga yoki ChillingEffects.org kabi uchinchi shaxslarga yuborilishi mumkin.

Iltimos, mahsulot yoki faoliyat sizning mualliflik huquqlaringizni buzayotganligi to'g'risida jiddiy ravishda noto'g'ri ma'lumot bergan bo'lsangiz, zarar uchun (shu jumladan xarajatlar va advokatlarning to'lovlari) javobgar bo'lishingizni maslahat beramiz. Shunday qilib, veb-saytda joylashgan yoki u bilan bog'langan tarkib sizning mualliflik huquqingizni buzishiga ishonchingiz komil bo'lmasa, avval advokat bilan bog'lanish haqida o'ylashingiz kerak.

Xabarnoma yuborish uchun quyidagi amallarni bajaring:

Siz quyidagilarni kiritishingiz kerak:

Mualliflik huquqi egasining yoki ular nomidan ish yuritishga vakolatli shaxsning jismoniy yoki elektron imzosi; Buzilgan deb da'vo qilingan mualliflik huquqining identifikatsiyasi; Varsity Tutors-ga ushbu tarkibni topishga va ijobiy aniqlashga ruxsat berish uchun \ mualliflik huquqingizni buzgan deb da'vo qilayotgan tarkibning tabiati va aniq joylashuvining tavsifi; masalan, biz aniq bir savolga havolani (faqat savolning nomini emas) talab qilamiz, unda tarkibni va savolning qaysi qismining tavsifini o'z ichiga oladi - rasm, havola, matn va hk - sizning shikoyatingiz murojaat qiladi; Sizning ismingiz, manzilingiz, telefon raqamingiz va elektron pochta manzilingiz; va sizning bayonotingiz: (a) mualliflik huquqingizni buzgan deb da'vo qilgan tarkibdan foydalanishga qonun bilan ruxsat berilmaganligiga vijdonan ishonasiz,yoki mualliflik huquqi egasi yoki uning egasi agenti tomonidan; (b) Sizning huquqbuzarlik to'g'risidagi xabarnomangizdagi barcha ma'lumotlar to'g'ri ekanligi va (c) yolg'on guvohlik berish jazosi ostida, siz mualliflik huquqining egasi yoki ularning nomidan ish yuritishga vakolatli shaxs ekanligingiz.

Shikoyatingizni tayinlangan agentimizga quyidagi manzil orqali yuboring:

Charlz Kon Varsity Tutors MChJ

101 S. Hanley Rd, Suite 300,

Sent-Luis, MO 63105