Bridj o'yinida kimdir kostyum kiyish ehtimoli qanday?

Bridj o'yinida, qandaydir o'yinchi to'liq kostyumga ega bo'lishi ehtimoli qanday?

(Bridge karta o'yinida to'rtta o'yinchi bor. Bridge kartalari dastasi 52 ta kartadan iborat bo'lib, ularning har biri o'n uchtadan to'rtta kostyumda joylashtirilgan. O'yin ko'prigi kartalarni tasodifiy ravishda to'rt o'yinchiga, ya'ni Shimoliy, Janubiy, Sharqiy, G'arbiy va boshqalarga tarqatishdan boshlanadi. Har biriga 13 ta karta beriladi.)

Men bu muammoni hal qilish uchun statistika bo'yicha turli kitoblarga murojaat qilyapman.

3 javob 3

Javob - bu juda kichik son, lekin kimdir AQShda qachondir da'vo qilinganini ko'rsatadigan darajada katta. Bu xabarda bu imkoniyatni qanday topish mumkinligi ko'rsatilgan (uchta oddiy hisob -kitoblar ketma -ketligi bilan), ta'birini beradi va uni qanday to'g'ri hisoblash kerakligini ko'rsatib beradi.

Kichkina umumlashtirishdan boshlaylik,chunki u muammoning mohiyatini ochib beradi. "Kostyum" $ k \ ge 1 $ kartalardan iborat bo'lsin. "Palka" - $ m \ ge 1 $ alohida kostyumlar birlashmasi. Savolda $ k = 13 $ va $ m = 4 $. Shartnomani modellashtirish uchun, pastki tasodifiy ravishda aralashtirilgan va $ m $ guruhlarga bo'lingan holda $ k $ bir -biriga bog'langan kartalarga bo'lingan. Bu guruhlarning har biri "qo'l" dir.

Birinchidan, oldindan o'ylab topilgan bitta o'yinchiga kostyum berish imkoniyatini topaylik.$$ \ binom bor = \ frac $$ mumkin bo'lgan qo'llar, ularning hammasi bir xil va ularning $ m $ - kostyumlar. Shunday qilib, bu imkoniyat

Agar savol shu edi, biz tugatdik. Ammo, ehtimol, bir yoki bir nechta qo'llarning kostyum bo'lishini so'rash ehtimoli ko'proq.

Buni amalga oshirish uchun, oldindan belgilanganikkita o'yinchiga kostyum berish imkoniyatini toping .Birinchi o'yinchiga kostyum berilishi sharti bilan ($ (1) $ berilgan imkoniyat), $ m-1 $ kostyumi qoladi. $ (1) $ natijasi $ m $ bilan shartli ehtimollik berish uchun $ m-1 $ bilan almashtiriladi. Bu ikki qiymat birgalikda ko'payish ehtimolini beradi

Bu mulohazaniinduktiv tarzda davom ettirish, $ s \ ge 1 $ oldindan belgilangan o'yinchilarning har biriga mos kostyum bo'lish imkoniyatini beradi.

Inklyuziya-istisno tamoyili ("PIE") bir yoki bir nechta o'yinchiga (oldindan belgilanmagan) kostyum tanlash imkoniyatini beradi; bu

Maqsaddagi kichik sonlar kutilgan edi: ular $ mk = 52 $ dan oshmasligi kerak. Hisoblagichdagi katta boshlang'ichlar $ p (m, k) $ uchun umumiy yopiq formulaning mavjud emasligini qat'iy nazarda tutadi.

Bu javob nimani anglatadi?

Vikipediya 1904 yilgacha bo'lgan ko'prikning zamonaviy versiyasini kuzatib boradi, u ilgari AQShda ko'proq mashhur bo'lganini va bugungi kunda AQShda 25 millionga yaqin o'yinchi borligini aytadi. Bridj o'yinchisi bo'lish nimani anglatishini bilish qiyin bo'lsa -da, biz har bir kishi har yili o'rtacha bir necha yuzdan bir necha yuzgacha o'ynaydi deb o'ylashimiz mumkin. (Duplicate Bridge -da ba'zi bitimlar bir necha bor o'ynaladi, lekin keling, bu murakkablikni e'tiborsiz qoldirib, uni "bir necha yuzgacha" bahosiga singdiraylik.) AQShda har yili talab qilinadigan ko'prik bitimlarining soni. mahsulotning o'ndan yuz baravarigacha bo'lgan buyurtma bo'yicha

$$ p (4,13) \ marta 25 \ marta 10^6 \ taxminan \ frac . $$

1904 yildan buyon o'tgan $ 110 yoki shunga o'xshash yillar hisobiga, biz bu umidni yana ikkita buyruq darajasiga ko'paytirishimiz mumkin. Natijada $ 1/10 dan $ 10gacha. Garchi $ p (4,13) $ "imkonsiz kichik" bo'lib tuyulsa -da, bu beparvo emas: Bridj o'yinchilari qanchalik faol bo'lganligi haqidagi taxminlarga qarab, bu AQShda kostyum allaqachon ishlab chiqilgan bo'lishi mumkin.

Ko'p odamlar bunday qo'llar haqida xabar berishgan. Aniq tushuntirish shundaki, ba'zi (ko'pmi?) Kemalar tasodifiy aralashtirilmagan yoki tarqatilmagan. Piter Rowlettni to'rtta mukammal qo'l yoki o'n uch beldagi fan yangiliklariga qarang .

Eslatmalar hisoblash

Javobni hisoblash $ (1) $, $ (2) $ va $ (3) $ formulalarida ko'rinadigan darajada sodda va sodda:quyidagi R misolini ko'ring. PIEni qo'llashda, odatda, yakuniy formulaning o'zgaruvchan qo'shilishi va ayirilishi tufayli $ m $ ning katta qiymatlaridan qochish yaxshidir: yig'indidagi ba'zi individual atamalar natijadan kattaroq bo'lganda, yaxlitlash xatosi tez to'planishi mumkin. Bu holat yanada yoqimli. Umuman olganda, birinchi davr-faqat bitta o'yinchining kostyum olish imkoniyatiga asoslanib-qolganlari ustunlik qiladi, bu kod aylanma xatolikka yo'l qo'ymaslik uchun summani teskari tartibda bajaradi.

Natijada IEEE suzuvchi nuqta arifmetikasiga xos bo'lgan aniqlik aniq.

Manbalar

Gridgeman, NT "Yo'qolgan bitim siri". Amer. Stat. 18, 15-16, 1964 yil fevral.

Mosteller, F. "Zo'r ko'prik qo'li". Yechimlari bilan ehtimollikdagi ellikta qiyin masaladagi 8 -masala. Nyu-York: Dover, 2 va 22-24-betlar, 1987 yil.

Wolfram Mathworld $ p (4,13) $ uchun bir xil ratsional qiymatni keltiradi. Ma'lumotlar Mosteller va Gridgeman.